菜鸟必学的3个数学排列组合知识难点

正在备战国考的伙伴们，上周我给大家分析了近年来国考数学运算的大数据，不知道有没有帮助到正在复习的你。很多同学问我，数学运算到底怎么复习？数学运算对于某些同学来说可能有难度，但是行测拉开差距的可能就是一两道数学运算题，所以亲爱的学员们，千万不可轻易放弃。因为数学运算中有很多的小技巧，这些小技巧可以帮助我们更好更快地求解。今天为大家总结的是排列组合当中经常会遇到的三个问题，破解了这三大难点，在做题的时候可以事半功倍。

对于许多刚接触排列组合的考生来说，通常会遇到三个基础性的问题：

1.排列与组合如何区分；

2.分步与分类如何区分；

3.与到底怎么计算。

解决这三个基础性的问题后，一些普通的排列组合问题一般都能够快速进行求解。

排列与组合如何区分

排列和组合的区分，根据我们中学学过的知识，其本质区别在于：排列与顺序有关，组合与顺序无关。

那么我们如何判定是否与顺序有关呢？

可以用假设法来进行判定，举几个例子：

1.一个小组有5个人，需要从这5个人中选出3个人去参加省里的表彰大会，有多少种不同的选法？

本题从5个人中选出3个人，到底是用排列还是用组合，我们可以用假设法来进行判别。首先假设一个方案，假设选出的三个人是甲、乙、丙，然后任意调换假定方案中两个人的顺序，看是否与之前假定的方案一致，一致则说明与顺序无关，是组合，反之则是排列。本题假设调换的是甲、乙的顺序，发现最终选出的任然是甲、乙、丙三个人参加此次表彰大会，只是被选出的先后顺序不同而已。因此本题是一个组合，即最终列式为。

2.某部门参加单位举办的合唱比赛，现在需要在参加合唱的10人中选出5人站在第一排，则第一排有多少种不同的站法？

这道题核心的点在于，到底是排列还是组合。依然用假设法进行判定。假设选出的五个人是甲、乙、丙、丁、戊，分别站在第一排的A、B、C、D、E五个位置。现在我调出甲、丁调换一下位置，变为丁站在A、甲站在D，其他几个人位置不变，对比发现调换前后两个方案是不一样的，故表明与顺序有关，本题就是一个排列问题，应该用表示。

3.某公司组织公司优秀员工一共3人出去旅游，准备入住某五星级酒店。现在酒店有8间房供他们选择，要求一人住一间，则一共有多少种不同的住宿方案？

同样假设一种方案，假设优秀员工分别为甲、乙、丙，依次入住A、B、C三间房，然后任意调出甲、乙调换一下，甲住到B房间、乙住到A房间、丙依然住C房间，发现调换之后的住宿方案和之前是不一样的（A是总统套房，B是普通房，调换后甲、乙的住宿体验一定不一样）。则本题与顺序有关，是一个排列问题，应该用表示。

分步与分类如何区别

我们都知道，分步用乘法，即需要将每一步的情况数相乘才能得到最后的答案；分类用加法，即需要将每一种情况加起来才能得到最终的答案。

那么分步与分类到底如何区分？

分步与分类的核心区别点在于：

分步是完成一件事情需要先A再B后C，其中A、B、C是完成这件事必须经历的步骤；

分类是完成一件事情要么A要么B要么C，其中任意选出A、B、C中一种都可以完成这件事。

下面我们通过几个例子来进行详细的讲解。

4. 某部门从8名员工中选派4人参加培训，其中2人参加计算机培训，1人参加英语培训，1人参加财务培训，问不同的选法有多少种？

完成选人参加培训这件事，需要先选择2人参加计算机培训，再选择1人参加英语培训，最后选择1人参加财务培训，是先A再B后C的关系，任意完成其中一项是没办法完成整个这项工作的，所以此题应该是分步用乘法的关系。首先先从8名员工中选出2人参加计算机培训，即，再从剩下的6人中选出1人参加英语培训，即，最后从剩下的5人中选出1人参加财务培训，即，则一共有种选法。

5. 某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式？

班里同学订学习报，要么订一种，要么订两种，要么订三种，要么订四种，是要么A要么B要么C的逻辑关系，如选择订两种学习报即可完成订报这项工作，所以此题应该是分类讨论的情况，需要用加法。如果订一种，即从四种中选一种，有种选择方式；如果订两种，即从四种中选两种，有种选择方式；如果选择三种，即从四种中选三种，有种选择方式；如果选择四种，只有1种方式。则总共的订报方式有种订报方式。

6. 某单位要求职工参加20课时线上教育课程，其中政治理论10课时，专业技能10课时。可供选择的政治理论课共8门，每门2课时；可供选择的专业技能课共10门，其中2课时的有5门，1课时的有5门。问可选择的课程组合共有多少种？

首先考虑政治理论课的选择情况。政治理论课一共8门，每门2课时，只需要从8门课中选出5门课学习即可，即有种。接下来考虑专业技能课的选择情况。专业技能课中2课时的有5门，1课时的有5门，凑足10课时需要进行分类讨论。第一种，选择5门2课时的课程，只有1种情况；第二种，选择4门2课时、2门1课时，共有C（5，4）×C（5，2）=5×10=50种情况；第三种，选择3门2课时，4门1课时，共有C（5，3）×C（5，4）=10×5=50种情况。则专业技能课的方案数共有50+50+1=101种情况。则总体的课程组合有101×56=5656种。本题其实考查了分步与分类的融合，整体难度明显大于前两题。

与到底怎么计算

与的计算有一个相对比较复杂的公式，不用刻意去记忆，只需要知道怎么计算即可。表示从m开始乘以依此减小的n个数，如代表从8开始乘依次减小的3个数，即8×7×6，再比如。的计算相对复杂一些，它的计算分为两个部分，分子为从m开始乘以依此减小的n个数，分母为从n开始乘以依次减小的n个数。如，再比如。总之与的计算掌握规律方法即可，不必死记硬背。